束 (lattice)
lattice
代數構造としての定義
組$ (L,\land_{:L\times L\to L},\lor_{:L\times L\to L})は以下を滿たすならば束 (lattice)である 吸收律に依り冪等律$ a\land a=aも成り立つので$ (L,\land)は半束になる 吸收律に依り冪等律$ a\lor a=aも成り立つので$ (L,\lor)は半束になる $ a\land(a\lor b)=a.
$ a\lor(a\land b)=a.
$ a\le b:=a=a\land b或いは$ a\le b:=b=a\lor bと二項關係$ \leを定義すれば、組$ (L,\le)は束 (lattice)である 順序集合としての定義
組$ (L,\le_{\subseteq L\times L})は以下を滿たすならば束 (lattice)である 集合$ Lの任意の二元部分集合$ \{a,b\}\subseteq Lは$ a\land b\le a且つ$ a\land b\le bとなる交はり (meet)$ a\land bを持つ 集合$ Lの任意の二元部分集合$ \{a,b\}\subseteq Lは$ a\le a\lor b且つ$ b\le a\lor bとなる結び (join)$ a\lor bを持つ 最小元$ \forall a_{\in L}\exist\bot_{\in L}(\bot\le a)を持つ
集合$ Lの任意の有限部分集合$ A\subseteq Lは交はり (meet)$ \bigwedge A:={\rm max}\{x\in L|\forall a_{\in A}(x\le a)\}を持つ 空集合$ \varnothingの交はりは$ \bigwedge\varnothing=\botと決める 最大元$ \forall a_{\in L}\exist\top_{\in L}(a\le\top)を持つ
集合$ Lの任意の有限部分集合$ A\subseteq Lは結び (join)$ \bigvee A:={\rm min}\{x\in L|\forall a_{\in A}(a\le x)\}を持つ 空集合$ \varnothingの結びは$ \bigvee\varnothing=\topと決める $ (a\land b)\lor c=(a\lor c)\land(b\lor c).
$ (a\lor b)\land c=(a\land c)\lor(b\land c).
$ (a\land c)\lor(b\land c)=((a\land c)\lor b)\land c.
$ a\le cならば$ a\lor(b\land c)=(a\lor b)\land c
集合$ Lの任意の有限とは限らない部分集合$ A\subseteq Lは交はり$ \bigwedge A:={\rm max}\{x\in L|\forall a_{\in A}(x\le a)\}を持つ 集合$ Lの任意の有限とは限らない部分集合$ A\subseteq Lは結び$ \bigvee A:={\rm min}\{x\in L|\forall a_{\in A}(a\le x)\}を持つ 可補束 (complemented lattice) 相補束 (orthocomplemented latice)