束 (lattice)
lattice
代數構造としての定義
組$ (L,\land_{:L\times L\to L},\lor_{:L\times L\to L})は以下を滿たすならば束 (lattice)である 吸收律に依り冪等律$ a\land a=aも成り立つので$ (L,\land)は半束になる 吸收律に依り冪等律$ a\lor a=aも成り立つので$ (L,\lor)は半束になる $ a\land(a\lor b)=a
$ a\lor(a\land b)=a
$ a\le b\iff a=a\land b或いは$ a\le b\iff b=a\lor bと二項關係$ \leを定義すれば、組$ (L,\le)は束 (lattice)である 順序集合としての定義
組$ (L,\le_{\subseteq L\times L})は以下を滿たすならば束 (lattice)である 集合$ Lの任意の二元部分集合$ \{a,b\}\subseteq Lは$ a\land b\le a且つ$ a\land b\le bとなる交はり (meet)$ a\land bを持つ 集合$ Lの任意の二元部分集合$ \{a,b\}\subseteq Lは$ a\le a\lor b且つ$ b\le a\lor bとなる結び (join)$ a\lor bを持つ 最小元$ \bot:=\min Lを持つ
集合$ Lの任意の有限部分集合$ A\subseteq Lは交はり (meet)$ \bigwedge A:=\max\{x|x\in L,\forall a_{\in A}(x\le a)\}を持つ 空集合$ \varnothingの交はりは$ \bigwedge\varnothing=\botと決める 最大元$ \top:=\max Lを持つ
集合$ Lの任意の有限部分集合$ A\subseteq Lは結び (join)$ \bigvee A:=\min\{x|x\in L,\forall a_{\in A}(a\le x)\}を持つ 空集合$ \varnothingの結びは$ \bigvee\varnothing=\topと決める 集合$ Lの任意の有限とは限らない部分集合$ A\subseteq Lは交はり$ \bigwedge A:=\max\{x|x\in L,\forall a_{\in A}(x\le a)\}を持つ 集合$ Lの任意の有限とは限らない部分集合$ A\subseteq Lは結び$ \bigvee A:=\min\{x|x\in L,\forall a_{\in A}(a\le x)\}を持つ $ (a\land b)\lor c=(a\lor c)\land(b\lor c)
$ (a\lor b)\land c=(a\land c)\lor(b\land c)
$ (a\land c)\lor(b\land c)=((a\land c)\lor b)\land c
$ a\le cならば$ a\lor(b\land c)=(a\lor b)\land c
可補束 (complemented lattice) 有界束$ (L,\land,\lor,\bot,\top)は、全ての元$ x\in Lに對して、$ x\land x^\bot=\botかつ$ x\lor x^\bot=\topとなる (補元律) 元$ {x^\bot}\in Lが存在するならば可補束と呼ぶ $ x^\botを$ xの補元と呼ぶ
$ \neg xとも書く
相補束 (orthocomplemented latice。直交可補束) 可補束$ Lは、補元$ \_^\botが以下を滿たすならば相補束と呼ぶ order-reversing$ x\le yならば$ y^\bot\le x^\bot
順序の定義
$ a\le biff.$ a=a\land b
$ \forall A_{\subseteq L}\exist\bigwedge A_{\in L}(\bigwedge A=\max\{x|x\in L,\forall a_{\in A}(x\le a)\})
$ \bot:=\bigwedge L=\min L
$ \forall A_{\subseteq L}\exist\bigvee A_{\in L}(\bigvee A=\min\{x|x\in L,\forall a_{\in A}(a\le x)\})
$ \top:=\bigvee L=\max L
補元$ ~^\bot:L\to Lが定義される
$ a\land a^\bot=\bot
$ a\lor a^\bot=\top
順序保存。$ a\le bならば$ b^\bot\le a^\bot
$ a\le bならば$ a\lor(a^\bot\land b)=b